Введение

Настоящий текст является попыткой сделать еще один шаг в направлении прояснения статуса «математики» Лакана и области ее применения[1]. В то же время он является своеобразным продолжением предыдущей нашей работы. Чтобы получить некоторые координаты, относительно которых можно было бы разместить лакановский математический аппарат, мы продолжим разбираться в том месте, которое занимает математика в науке, но если в прошлый раз мы говорили о Декарте и Галилее, то в этот мы обратимся к античной науке. Главным образом нас будут интересовать идеи Платона.

Стоит пояснить, почему мы обращаемся именно к греческой математике, поскольку она существовала задолго до греков, в Вавилоне и Египте. Однако наш выбор продиктован тем различием, которое лежит между двумя этими математиками. На Древнем Востоке математика имела прежде всего практически прикладной характер — с помощью нее решались задачи вычисления оплаты труда, объемов и площадей. Таким образом, она сводилась к некоторому набору приемов для решения практических задач. Тогда как именно в Греции возникает то, что можно назвать теоретической математикой, одной из важнейших черт которой является наличие доказательства.

Пифагорейцы

Прежде чем начать говорить о Платоне, мы хотели бы сделать упоминание о пифагорейцах.

Пифагорейцы были первыми, кто воспринял математику как ключ к пониманию мира. В этом они опередили Галилея, который спустя почти два тысячелетия выразил эту мысль в известном изречении «Книга природы написана на языке математики».

Сразу бросается в глаза отличие числа от других элементов, которые греки рассматривали в качестве основы бытия, — вода, земля, воздух, огонь или даже атомы… Числа стоит особняком в этом ряду.

Для пифагорейцев числа и их отношения составляют саму суть природы. По-видимому, обнаруживая соответствия явлений и объектов (времена года, периоды жизни человека, количество небесных сфер и т.д.) числам, пифагорейцы и приходят к своему знаменитому «Все есть число». Куда мы ни посмотрим — стадо овец, пальцы на руках, звездное небо, — мы обязательно обнаружим там число. Вычленение числа позволяет познавать действительность. Например, звуки могут быть записаны в виде цифр, которые отмечают их длительность и высоту, места записываются в виде координат, характеристики вещей — в виде их размеров, и т.д. Таким образом, математика становится единственным ключом к познанию природы.

Число рассматривается в контексте связи идеи предела и беспредельного, которая напрямую связана с космологией пифагорейцев. Так, мир — это что-то, что имеет границы, предел, а окружающая его пустота — это беспредельное. Все существующее создается из этих противоположностей, — это относится и к числам.

Еще одним моментом, который стоит отметить, является то, что для пифагорейцев числа имели свои геометрические образцы: единица-точка, двойка-линия, тройка-плоскость, четверка-объемное тело. Кроме этого, именно пифагорейцы стали говорить о фигурных числах, из чего несложно заметить, насколько тесно у них были связаны арифметика и геометрия.

Однако в подходе пифагорейцев существовал один сложный момент, из–за которого они подверглись критике со стороны Аристотеля. Последний сообщает, что в учении пифагорейцев число не было отделено от материи. То есть оно не только выражало свойства и состояния вещей, но и принималось за начало в качестве материи, — иначе говоря, имело пространственную величину. Такой подход создает ряд весьма серьезных проблем, которые получат свое решение уже в учении Платона.

Математика у Платона

Чтобы начать говорить о платоновской математике, необходимо сразу же обозначить ту концепцию, в которой она будет размещаться. Это учение об идеях Платона. Платон разделял чувственный мир и мир идей. Первый доступен ощущениям, и в нем не может быть истинного знания, но может быть только мнение. Второй же доступен мысли. Мир идей — вечен, неизменен, и он является причиной возникновения чувственного мира, изменчивого и непостоянного. То есть тот мир, к которому мы привыкли и который называем реальностью, является лишь тенью другого мира — мира идей. По отношению к нему он вторичен и существует только благодаря причастности к нему. Именно это и описывает платоновский миф о пещере.

О чувственных вещах, данных нам в ощущениях, мы не можем сказать чего-то определенного. Чувственный мир постоянно изменяется. Кроме этого, говоря, что что-то является большим, всегда подразумевается, что может найтись что-то еще большее, а затем и еще большее, и так без предела. Таким образом, объект, которым мы назвали большим, в какой-то момент может потерять этот статус и стать маленьким в отношении другого. Таким образом, чувственный мир — это мир беспредельный, относительный, в котором мы можем увидеть своеобразное «скольжение» качеств. Эту неопределенность Платон называет неопределенной двоицей (более или менее), поскольку одному объекту (явлению) присваивается сразу два значения, а не одно, и таким образом, возникает неустранимая неопределенность.

Итак, мы не можем довериться нашим чувствам, но каким же образом тогда возможно познание? Платон обращается к мышлению и числам. Чтобы говорить о чем бы то ни было, нам потребуется сначала выделить это «одно» из «другого», то есть отличить. Но тогда сразу же возникает 1 и 2. Таким образом, числа становятся необходимы нам для познания мира. В диалоге «Филеб» Платон приводит замечательный пример:

«Первоначально некий бог или божественный человек обратил внимание на беспредельность звука. В Египте, как гласит предание, некий Тевт первым подметил, что гласные буквы в беспредельности представляют собою не единство, но множество; что другие буквы — безгласные, но все же причастны некоему звуку и что их также определенное число; наконец, к третьему виду Тевт причислил те буквы, которые теперь, у нас, называются немыми. После этого он стал разделять все до единой безгласные и немые и поступил таким же образом с гласными и полугласными, пока не установил их число и не дал каждой в отдельности и всем вместе названия «буква» (στοιχεΐον). Видя, что никто из нас не может научиться ни одной букве, взятой в отдельности, помимо всех остальных, Тевт понял, что между буквами существует единая связь, приводящая все к некоему единству. Эту связь Тест назвал грамматикой — единой наукой о многих буквах.»[2]

Платон устами Сократа справедливо замечает «беспредельность» звука: все, что мы могли бы сделать, — это отметить, что звук либо есть (единица), либо звука нет (ноль). (Конечно, уже на этом этапе мы вносим некоторое различие). Тем интереснее для нас та операция, которую совершает Тевт: он «прочитывает» некоторое различие между разными группами звуков, а затем, — уже внутри каждой группы, между отдельными «звуками», обозначив каждый из них буквой. Таким образом, Платон демонстрирует переход от беспредельности к системе, состоящей из определенного, конечного числа букв.

Но что же такое число для Платона?

Число рождается из соединения единого и иного. (Единица у Платона есть Единое. Единое по определению неделимо и нераздельно, так как если не существует Единого, то не существует ничего). Как мы можем это понять? Если такое число как 1 существует, то мы имеем 1 и его существование. Однако единица не тождественна существованию (единица тождественна только единице), — таким образом, существование выступает как «иное» в отношении единицы. Тогда, единица и существование образуют 2. В свою очередь у нас появляется 3 элемента и т.д. Таким образом, число представляет собой единство тождественного и иного.

Онтологический статус математических объектов у Платона

Когда мы подходим к вопросу онтологического статуса математических объектов у Платона, нас сразу же встречает ряд сложностей. Одной из них является свидетельство Аристотеля о том, что Платон разделял математические и идеальные числа, в то время как ни в одном из текстов Платона мы не находим ничего подобного. Тем не менее, имеется ряд свидетельств о существовании так называемого «Устного учения Платона», в котором это различие проведено.

Все это разделяет исследователей на 2 большие группы: тех, кто придерживается письменного наследия Платона, и тех, кто ссылается на Аристотеля.

Мы постараемся обозначить обе позиции.

Математические объекты как идеальные образования.

В отличие от пифагорейцев Платон отделяет числа от материального мира, он приписывает им статус идеальных образований. Мы никогда не встречаем в окружающем нас мире числа как таковые, число невозможно воспринять чувственно, его можно только мыслить. В окружающем мире мы никогда не найдем двух равных единиц, — это возможно только в мире идеализаций. И поскольку числа постигаются только мыслью, то они не отличаются от идей.

В то же время геометрические объекты, имеющие чувственные подобия в чувственном мире, ввиду этого факта находятся к нему чуть ближе, не покидая, однако, мир идей. Такой позиции придерживается В. Зеннхаузер в своей книге «Платон и математика». Таким образом, эту позицию можно обозначить как простую онтологическую дихотомию идей и элементов чувственного мира, в которой нет места для промежуточного класса математических объектов.

Промежуточный онтологический статус геометрических объектов.

Отличие этой позиции от предыдущей состоит в том, что геометрические объекты трактуются не просто как «располагающиеся ближе к чувственному миру», но и как обладающие отличным от чисел промежуточным статусом существования — между миром идей и чувственным миром. Гайденко, которая придерживается этой точки зрения, предлагает рассматривать эту промежуточную область как платоновское «пространство».

«Пространство, как видим, определяется Платоном как нечто отличное, с одной стороны, от идей, постигаемых мыслью (νόησις), которых мы назвали бы по этой причине логическим объектом (для Платона логическое имеет статус единственно истинного бытия), а с другой — от чувственных вещей, воспринимаемых «ощущением» — αἴσθησις. Пространство лежит как бы между этими мирами в том смысле, что оно имеет признаки как первого, так и второго. А именно, подобно идеям, пространство вечно, неразрушимо, неизменно; более того, оно и воспринимается не через ощущение. Но сходство его с чувственным миром в том, что воспринимается оно все же не с помощью мышления.» [3]

Именно пространство является предпосылкой для существования геометрических объектов и основанием для того, чтобы отделить их от чисел. Мы поясним этот момент чуть дальше в пункте «Числа и геометрические объекты».

Математические и идеальные числа

В основе этой концепции лежит различие между математическими и идеальными числами. В чем же состоит это различие? Мы можем отметить, что те числа, с которыми работают математики, обладают некоторыми чуждыми для идей свойствами. Так, мы можем оперировать бесконечным количеством единиц, в то время как идея единицы одна. Кроме того, мы знаем, что идеи Платона неизменны, но, имея дело с математикой, мы вольны совершать различные преобразования, операции: сложение, вычитание, деление и т.д. Таким образом, мы можем уловить отличие идей от тех чисел, с которыми мы привыкли иметь дело. Но в таком случае математические объекты должны иметь свои идеальные «образцы». Это и представляют собой идеи-числа.

В отношении идеальных чисел мы не можем сказать, что двойка больше единицы, или идет следом за ней, поскольку им присуща, как пишет Лосев, своя специфическая «качественность». Они не представляют собой количественные конструкции, то есть мы не можем из одной идеи получить другую путем сложения; более того, к ним не применимы привычные нам математические операции.

«Эти числа, по Платону, идеальны, т.е. суть идеи. А это значит, что им присуща не сводимая ни на что иное, каждый раз совершенно особая индивидуальная качественность, причем последняя, конечно, не имеет ничего общего ни с какой вещественной качественностью, но есть идеальная, мыслимая и мысленная, умная, смысловая качественность.»[4]

Таким образом, выделяется два типа математических объектов — идеальные и математические. Причем математическим соответствует некоторый срединный слой бытия, располагающийся между миром идей и чувственным миром.

Стоит отметить, что разночтение между данной точкой зрения и той, что мы привели выше, связано с различной трактовкой понятия «математические объекты». Так, Гайденко понимает их как объекты геометрические, тогда как ряд других исследователей считают, что к математическим объектам относятся также и числа.

Число это идеи или идеи это числа?

Говоря о числах идеях, нельзя не упомянуть об одном весьма сложном, но интересном моменте. Так, согласно еще одной точке зрения Платон считал, что числа не только принадлежат миру идей, то есть являются ими, но сами идеи являются числами. Таким образом, число получает совершенно уникальный статус в познании истины, который звучит не менее сильно чем пифагорейское «вcе есть число».

Однако, осмысление подобного отождествления наталкивается на ряд сложностей. Так, если идеальные числа ограничиваются 10, а идея должна иметься у любого объекта, то мы получаем, что числа не могут рассматриваться как идеи, поскольку составляют лишь малую их часть. Но что в этом случае происходит со всеми другими идеями, неужели Платон просто отбрасывает их, либо же они каким-то образом выводятся из чисел? Здесь мы не будем приводить различные попытки разрешения этого вопроса, заинтересовавшийся читатель может обратиться к работе «Учение Платона об идеях-числах» С.В. Месяца.

Координация чисел и геометрических объектов

Другим важным для нас моментом является вопрос соотношения чисел с геометрическими объектами.

Мы уже обозначали, что Платон разделял числа и геометрические объекты. Однако есть ли какое-то соответствие между ними — как, например, то, какое мы видели у пифагорейцев?

Такое соответствие, или координация, безусловно, имеет место и осуществляется она благодаря понятию пространства, о котором мы говорили чуть выше.

Так, соединяясь с пространством (или погружаясь в пространство), единица образует точку — первый геометрический объект. Точка для Платона — это единица, имеющая положение. Погружая в пространство двойку, мы получаем линию. Мы можем это понять так, что через две точки всегда можно провести линию. У Евклида точки в этом случае являются концами линии.

В случае тройки, как несложно догадаться, мы получаем треугольник. И действительно, соединяя концы отрезка с точкой, не принадлежащей этому отрезку и не лежащей на прямой, содержащей этот отрезок, мы получаем треугольник. Четверка же порождает первое объемное тело — тетраэдр (соединение треугольника и точки, не принадлежащей плоскости, в которой лежит треугольник).Таким образом, именно пространство является у Платона тем, что обеспечивает координацию между числами и геометрическими объектами, одновременно сообщая им различие. Этот момент будет важным для нас в дальнейшем, поскольку он позволяет нам еще раз задуматься над вопросом координации математических и топологических объектов у Лакана.

Одно важное следствие

Если мы принимаем тезис о том, что математические объекты имеют некий срединный статус существования, располагаясь между миром идей и чувственным миром, тогда перед нами встает вопрос — о чем же идет речь, когда мы говорим о движении геометрических объектов — например, точки?»Что такое эта движущаяся точка, и где она совершает движение? Можем ли мы сказать, что летящая в небе птица — это она и есть? Нет, поскольку мы знаем, что точка — это не чувственная вещь. Можем ли мы сказать, что это идея? Тоже нет, поскольку идеи неизменны, и не могут двигаться.

На этот вопрос нам дает ответ Прокл, говоря, что то место, где точка совершает движение, является фантазией или воображением. В этом пункте мы видим чрезвычайно важное расхождение с физикой Возрождения. Греки не могли принять, что точка движется в физическом мире: все движения объектов могут рассматриваться только как аналоги движения точки в воображении. Геометрические объекты не могут двигаться в физическом мире, поскольку их движение имеет место в принципиально другой области — воображении или «интеллигибельной материи». Таким образом, в античной науке мы видим разрыв между физикой и геометрией, который является принципиальным различием в отношении галилеевой физики.[5]

Более того, Платон отказывал физике в статусе «настоящей» науки, поскольку то, с чем она имеет дело, — лишь чувственные подобия идей.

Математика у Лакана

Наша цель в данной главе — не столько сравнить подходы Лакана и Платона (поскольку это означало бы, что мы уже достаточно разобрались и в первом и во втором), но, скорее, попробовать благодаря Платону чуть ближе подступиться к лакановской математике.

Несмотря на сложности, возникшие в предыдущем параграфе, у нас имеется несколько вариантов онтологического статуса платоновской математики.

Попробуем теперь подступиться к Лакану. Мы воспользуемся примером, который он приводит в ходе своего семинара «Объект психоанализа». Говоря о вазе, Лакан сообщает, что:

а) Ваза — это символическое творение

б) Причиной вазы является дыра

Для Платона же причиной вазы будет идея вазы, то есть, скорее, принцип подобия — тот принцип, который в лакановском учении царит в регистре Воображаемого.

Почему этот пример с вазой для нас важен? Дело в том, что в ходе этого же семинара Лакан делает еще одно важное для нас замечание касательно числа. Число, — говорит он, — является метонимией нехватки [6]. Таким образом, число, как и означающее, имеет отношение к нехватке. Именно это и иллюстрирует его известный пример с пещерным человеком, когда последний заходит в свою пещеру и понимает, что чего-то в ней не хватает, — тогда он записывает: 1. Имеется ввиду одно отсутствие, одна нехватка. Получается, что число, как и ваза, обязаны своим возникновением дыре. Сделать, однако, вывод, что число представляет собой означающее, мы не можем, и об этом речь пойдет ниже.

Различие лакановского понимания числа с платоновским становится более очевидна. Поздний Платон, говорящий об идеях как о числах, признает за ними роль причины существования чувственного мира. У Лакана же само число становится зависимым не только от нехватки, но и от того, кто эту нехватку способен прочитать, то есть от говорящих существ.

Еще больше вопросов у нас возникает при подходе к лакановской топологии. Здесь для нас является сущностным вопрос понимания этих визуальных форм, поэтому мы позволяем себе говорить, с одной стороны, о геометрии Платона, а с другой — о топологии Лакана.

Для Платона, так или иначе, геометрия обладает более низким статусом, чем арифметика, и появляется благодаря соединению чисел с пространством. Многие наши коллеги смело приписывают лакановской топологии статус Воображаемого, поскольку речь идет о визуальных формах. Это одна из причин, почему топология не в почете у многих лаканистов. Однако достаточно прочитать 13-й семинар или работу Лакана L'étourdit, чтобы увидеть, что он говорит обратное. Кроме того, было бы в высшей степени забавно, если бы Лакан, так долго критиковавший наших коллег, силы которых всецело сосредоточены в области Воображаемого, сам сосредоточил бы свое позднее учение вокруг этого[7]. Возвращаясь к примеру с вазой, которая представляет собой не что иное, как сферу с дырой, мы замечаем, что объекты, которые использует Лакан, также имеют в качестве своей причины дыру. Мы не будем торопиться, но заметим, что Лакан бесконечно настаивает на том, что речь идет о разных типах дыр. У Платона разные числа порождают различные пространственные объекты; у Лакана эту функцию выполняют дыры, нехватки.

Можно было бы подумать, что вся лакановская топология относится к регистру символического. Как ваза является первым означающим, так и эти объекты вполне можно рассматривать как объекты символического регистра, поскольку организующим принципом является наличие дыры. Более того, Лакан так и скажет в семинаре «Тревога»:

«Преимущество топологии состоит в том, что она сводит к минимуму картины, которые рисует воображение, и имеет дело со своего рода транс-пространством, представляющим собой, судя по всему, чисто означающую конструкцию, но оставляющим при этом в нашем распоряжении небольшой набор элементов, воспринимаемых наглядно, интуитивно.»

Однако в семинаре «Объект психоанализа», на который мы ссылаемся, Лакан иначе говорит о топологии. Несколько раз он предельно прозрачно намекает, что она имеет статус письменности. Здесь нужно отметить следующее: Лакан настаивает, что письменность имеет иную функцию, нежели быть про двойником устной речи, фиксировать ее. Есть еще какая-то функция письма, и она куда важнее.

«Я должен сказать, что в конечном счете, неопровержимо, что делать из письменности инструмент[…] значит абсолютно не признавать ее истинную функцию».[8]

Мы можем предположить, что та функция о которой идет речь, — это связь с объектом а. Об этом Лакан также говорит в ходе семинара, однако сказать, чем эта связь отлична от связи в случае означающего, исходя из данного семинара непросто. Именно поэтому выше мы не стали спешить говорить о числе как об означающем. В примере с пещерным человеком — он совершает запись; кроме того, числами куда больше оперирует на письме, чем в речи. Поэтому нам кажется уместнее предположить, что числа, как и топологические объекты, Лакан относит скорее письму. Позднее, уже в семинаре «Еще» Лакан скажет, что письмо — это не Символическое, но Реальное.[9] Тем не менее, несмотря на то, что это заявление, казалось бы, разрешает наши вопросы, все–таки не слишком понятно, как нам отличить письмо от означающего. И то и другое имеют тесную связь с объектом. Можем ли мы сказать, что характер этой связи различен, или же стоит найти какой-то иной критерий демаркации? Вопрос проведения этого различия и выяснения ценности письменности и ее уникальности по отношению к символическому нам кажется одним из первостепенных, поэтому мы будем продолжать исследовать его, но уже в следующих работах.

Этот момент кажется удачным, чтобы напомнить читателю, что все лакановские объекты соответствуют определенным матемам, в статусе которых уже сомнения не возникает.[10]

Здесь мы видим эту параллель с числами Платона, которые имеют свои визуальные соответствия в геометрии. Но если в последнем случае этот переход происходит при помощи погружения в пространство, то как мы можем понять эту двойную запись у Лакана? По крайней мере, благодаря Платону мы можем задать вопрос — «Что это за место, где размещены топологические объекты Лакана?». Является ли это место пространством? Или же, как в случае логики, — это вселенная дискурса? На данный момент этот вопрос представляется нам довольно проблематичным, так же, как вопрос соответствия матем и визуальных объектов, и одним из путей его решения кажется обращение к Декарту.

Но что же роднит подходы Платона и Лакана к математике? Как мы видели, довольно сложно найти какие бы то ни было точные соответствия — как в отношении письма, так и в топологических/геометрических объектов. Но то, что действительно важно, — это что, как для Платона математика является ключом к постижению истины, так и Лакан использует свою «математику» (или мы можем сказать еще шире — письмо[11]), чтобы подступиться к этому вопросу.

В следующей работе мы попробуем развить эту тему.

Примечания

[1] Говоря о лакановской математике, мы будем в первую очередь опираться на семинар «Объект психоанализа». Это объясняется тем, что нас прежде всего будет интересовать так называемая «лакановская топология», а еще точнее — топологические поверхности, к которым Лакан активно прибегает в эти годы.

[2] П. Гайденко «История греческой философии в её связи с наукой»

[3] П. Гайденко «История греческой философии в её связи с наукой»

[4] А.Ф. Лосев «Очерки античного символизма и мифологии»

[5] П. Гайденко «История греческой философии в её связи с наукой»

[6] Эту мысль Лакан развивает годом раньше. В ходе семинара «Problemes cruciaux» (1964-1965) он обращается к обоснованию арифметики Фреге, который выводит единицу из нуля, благодаря переходу последнего от статуса концепта к статусу объекта. Именно на эту идею и опирается Лакан, говоря, что число — это метонимия нехватки, то есть нуля.

[7] На самом деле это не совсем так — не только позднее учение Лакана подверглось топологизации. Так, уже в семинаре «Идентификация» (1961-1962) Лакан очень много обращается к топологическим поверхностям. А до этого, во времена 4-го семинара, начинает появляться знаменитый граф желания, который также имеет непосредственное отношение к топологии.

[8] Жак Лакан семинар «Объект психоанализа»

[9] За год до этого, в семинаре «Ou pire» Лакан скажет, что число — это Реальное, из чего мы можем заключить, что наше предположение о том, что число является письменностью, — верно.

[10] Имеется ввиду статус письменности.

[11] Весьма интересным, на наш взгляд, моментом, является противоположность взглядов на письмо у Лакана и Платона. В главе про Платона мы упоминали о существовании устного учения, однако и в самих диалогах Платон говорит о том, что самые важные вещи письму лучше не доверять, поскольку они будут извращены. Условием передачи знания для него является длительное общение и взаимодействие. Лакан же (по крайней мере в этот период), напротив, — делает особую ставку на письмо.